第二题:条件足够了
所在版块:求学狮城 发贴时间:2008-06-17 14:20

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或者我应该制定的更严谨点:

一条长为L=1m的弹簧,一只小虫位于弹簧的左端端,小虫以v1=1cm/s的速度向弹簧右端爬,同时弹簧以v2=1m/s的速度向右拉伸(左端固定),问小虫能否爬到弹簧的又端,如果能,这个时候弹簧有多长?(注:小虫的长度为0,不老不死,上题也是,弹簧可以无限拉伸)


解答:


在时刻t,弹簧的长度为: L_ = L + v2 * t

弹簧上不同点的伸缩速度不一样,对某一个离弹簧左端距离为s的点来说,该点的伸缩速度为: v_ = (s / L_) * v2.

小虫的速度为v1,这是相对它当时所在的弹簧的那个点来说。所以,相对地面,小虫的速度为: v = v1 + v_。v_为当时小虫所在点的伸缩速度。

假设此时小虫离弹簧左端距离为s。那么相对地面,小虫的速度为

v = v1 + (s / (L + v2 * t)) * v2

其中s为v对时间的积分,或者说v是s对时间的微分: v = ds/dt.

即:

ds/dt = v1 + s / (L/v2 + t)

这是一个经典的微积分方程,稍微复杂了点,不过相信对很多同学来说没什么难度。求出s之后,让s = L_即可求出t与此时的L_。

实际上,换一个角度,这个问题还有另外一个简单很多的解决方法(不需要解微积分方程),几天后我会公布,兄弟们可以先思考一下。

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