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【留学深造】一道中学竞赛题2012 Australian Mathematics Competition Junior Q27
　
How many four-digit numbers containing no zeros have the property that whenever any one of its four digits is removed, the resulting three-digit number is divisible by 3?　
　
我是这么想的，如果是任意删除一位数字，余下的部分还能被3整除，那么只能是3，6，9这几个数
　
ABCD 四位数，每次都有3种选择，所以 3 x 3 x 3 x 3 = 81　
　
可答案是243，想不明白，望高人指点
　
　
该帖荣获当日十大第8，奖励楼主4分以及6华新币，时间：2015-07-15 22:00:03。 [spinach (7-14 21:38, Long long ago)] [ 传统版 | sForum ][登录后回复]1楼

[147]{4} (i.e. [147][147][147][147]) and [258]{4} and [369]{4}[赶超美日 (7-14 22:22, Long long ago)] [ 传统版 | sForum ][登录后回复]2楼

。能被三整除的条件是几个数字之和能被三整除　[本文发送自华新iOS APP] [wiggleY (7-14 22:51, Long long ago)] [ 传统版 | sForum ][登录后回复]3楼

还要包括可以被三整除的几个数位中有任意数量3 6 9的[hua798 (7-14 23:31, Long long ago)] [ 传统版 | sForum ][登录后回复]4楼

这道题的陷阱是要求余下的3digits可以被三整除，而不是开始的4digits也需要被三整除。
所以和（3，6，9）一样，（1，4，7），（2，5，8）的任意组合也可以。81*3有242，　[本文发送自华新iOS APP] [卡西法 (7-15 8:00, Long long ago)] [ 传统版 | sForum ][登录后回复]5楼

初级数论向玛丽致敬[华生之友 (7-15 9:06, Long long ago)] [ 传统版 | sForum ][登录后回复]6楼

(引用华生之友:初级数论向玛丽致敬)best simple answer!If a number is divisible by 3, and you remove any digit and it remains divisible by 3, then the digit that you removed must itself be divisible by 3. If there are no zeros, then the digit must be 3, 6, or 9. And since you can remove *any* digit and the result is still divisible by 3, that means *all* digits must be 3, 6, or 9. And there are 3 * 3 * 3 * 3, or 81, such numbers.

However, the original number isn't guaranteed to be divisible by 3 in the first place. So you also have to include the numbers that aren't divisible by 3 but any 3-digit number made by removing one of its digits is. This occurs when each digit is one greater than a multiple of 3 or when each digit is two greater than a multiple of 3. This means how many four-digit numbers exist such that each digit is a 1, 4, or 7, or each digit is a 2, 5, or 8. The answer for each is 3 * 3 * 3 * 3, or 81.

So the total number of 4-digit numbers that meet the condition is 81 + 81 + 81, or 243.
[华生之友 (7-15 9:12, Long long ago)] [ 传统版 | sForum ][登录后回复]7楼

(引用卡西法:这道题的陷阱是要求余下的3digits可以被三整除，而不是开始的4digits也需要被三整除。所以和（3，6，9）一样，（1，4，7），（2，5，8）...)。。。。看到最后我愣是看傻了，楼主你一定是故意的[寻Q人 (7-15 10:01, Long long ago)] [ 传统版 | sForum ][登录后回复]8楼

(引用华生之友:best simple answer!If a number is divisible by 3, and you remove any digit and it remains divisible by 3, then the digit that yo...)感谢大家的回复感谢大家的回复[spinach (7-16 23:14, Long long ago)] [ 传统版 | sForum ][登录后回复]9楼

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说的我兴起了，出一个数学题目一个自然数，她的二分之一能被2整除，她的三分之一能被3整除，她的五分之一能被5整除，她的七分之一能被7整除，请问，
这个自然数最小是几啊？

赫赫[dnegel (8-25 19:55, Long long ago)] [ 传统版 | sForum ][登录后回复]11楼

(引用 dnegel:说的我兴起了，出一个数学题目一个自然数，她的二分之一能被2整除，她的三分之一能被3整除，她的五分之一能被5整除，她的七分之一能被7整...)答出上个题目的请继续走一个自然数，她的二分之一可以开平方，她的三分之一可以开立方，她的五分之一可以开五次方，这个自然数最小是几啊？
不好意思地把7拿掉了，因为吧，就现在，你的计算器可以已经不够位数了：）
嘿嘿，我坏坏地笑，坏坏地笑。。。

顺便说一句，两个题目都是中学的数学题目欧[dnegel (8-25 20:05, Long long ago)] [ 传统版 | sForum ][登录后回复]12楼

(引用 dnegel:答出上个题目的请继续走一个自然数，她的二分之一可以开平方，她的三分之一可以开立方，她的五分之一可以开五次方，这个自然数最小是几啊...)第一题简单，直接第二题走起全部取对数，得：
2log(x)+log2=3log(y)+log3=5log(z)+log5

上面取最小公倍数需要有下面这些组成
15个log2+10个log3+6个log5

上面的再用exp换回

所以答案是2^15 * 3^10 * 5^6 　[本文发送自华新iOS APP] [卡西法 (8-25 22:33, Long long ago)] [ 传统版 | sForum ][登录后回复]13楼

(引用卡西法:第一题简单，直接第二题走起全部取对数，得： 2log(x)+log2=3log(y)+log3=5log(z)+log5 上面取最小公倍数需要有下面这些组成 15个log2+1...)你的魔法是一流的不过，貌似我打错了一个字，是小学的数学题，嘿嘿，这次怎么办呐？不能用log了[dnegel (8-26 9:28, Long long ago)] [ 传统版 | sForum ][登录后回复]14楼

(引用 dnegel:说的我兴起了，出一个数学题目一个自然数，她的二分之一能被2整除，她的三分之一能被3整除，她的五分之一能被5整除，她的七分之一能被7整...)44100x | 4, 9, 25, 49

LCM (4, 9, 25, 49) = 44100

是这样吧？ [spinach (9-4 21:26, Long long ago)] [ 传统版 | sForum ][登录后回复]15楼

(引用 dnegel:说的我兴起了，出一个数学题目一个自然数，她的二分之一能被2整除，她的三分之一能被3整除，她的五分之一能被5整除，她的七分之一能被7整...)是0咩[Fantasylx (9-4 21:40, Long long ago)] [ 传统版 | sForum ][登录后回复]16楼

(引用 Fantasylx:是0咩)唉

　
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[dnegel (9-4 21:49, Long long ago)] [ 传统版 | sForum ][登录后回复]17楼

楼上说只看那个three-digit的数字的肯定是在耍流氓题目讲说是要移走four-digit里任意一位都能被整除的，只看三位也太任性了吧

其实很简单

卤煮一开始3*3*3*3的思路是对的
可以得到像[3333,3336,3339]之类的数字一共81组
然后这组数字每个digit分别-1，-2
得到的[2222,2225,2228] [1111,1114,1117]两组数字都是可行的
所以81*3=243[Fantasylx (9-4 22:23, Long long ago)] [ 传统版 | sForum ][登录后回复]18楼

(引用 Fantasylx:楼上说只看那个three-digit的数字的肯定是在耍流氓题目讲说是要移走four-digit里任意一位都能被整除的，只看三位也太任性了吧其实很简�...)agree[peterz (9-5 23:11, Long long ago)] [ 传统版 | sForum ][登录后回复]19楼