两个数学题第一题:过河 见下图。这条河里有12个小岛，有25座桥连接小岛与小岛，小岛与河岸。每座桥都有0.5的概率是断开的。（比如那种可以拉起来以便过船的桥。）每座桥断开与否是独立的事件。问：在任意一个时间点，可以过桥的概率是多少？ 注意这里问的是时间点，或者说以很快的速度过桥。所以“走到一个小岛上，等一会儿，再到另一个小岛上“是不允许的。 第二题:自由落体 在赤道上，从高楼上扔下一个球，不计空气影响。问这个球是不是落到正下方？偏东还是偏西？如果你要我定义什么叫正下方，有很多方法定义，比如拉根线掉个重锤，比如与地心的连线，这都是等效的。 两道题都摘自《The Unofficial IEEE Brainbuster Gamebook: Mental Workouts for the Technically Inclined》，第一题稍有修改，以防个别同志写程序brute force。自己画的图，有点丑。 (more...)

我只是多画了几个桥，但解法和原题一样。你想复杂了

你说的那个火柴棍，就连简化为一维后也很难。假设火柴棍是随机放在一根筷子上的，问火柴棍完全覆盖筷子的概率。 与此相关的有个"random parking problem"。就是说在一条长为100的线段上随机放长为1的线段，这些长为1的线段不能有交集，一直放到不能再放为止，问期望可以放多少条。答案是70多条，没法用closed form表示，是用归纳法解的。二维的相同的问题是open problem。参见http://mathworld.wolfram.com/RenyisParkingConstants.html

书上没错，注意P(A+B)可不是P(A)+P(B)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B) 有时也写成 P(A|B)=P(A)+P(B)-P(A&B)

brute force行不通，因为2^(m*n)种情况，太多了也就只能用对称的方法解这种特殊情况，没法推广。

讨论一下第二题前提： 抛开气流影响， 抛开其他天体引力影响 猜想： 以地心那一点为参照物， 小球的运动可以分解为 1. 相对地心的自由落体运动和 2. 相对地心的圆周运动， 而且角速度与地球自转的角速度一样 这样应该就是落在正下方。 不过数学证明没想到好方法， 要用积分。

哈哈，很好啊开普勒某一个定律说"行星和恒心之间的连线单位时间扫过的面积是恒定的。"这可以推出你最后需要证明的东西。 一个题外话，开普勒是通过观察得到这个定律的，那时还没有微积分。不是一般的毅力和智力啊。

嗯 如果分成两个运动来看 应该是圆周运动的线速度大小不变 因为引力对圆周运动的物体不做功 因为圆周运动半径越来越小，所以角速度应该逐渐增加。 所以应该是比地球转得越来越快了。 把两个运动合起来看 如果把地球看成地心那一点， 自由落体的起始速度应该远小于第一宇宙速度，所以应该是绕地球做椭圆运动，起始那一点是远地点，角速度与地球角速度一样。 近地点因为受引力做功影响，线速度增加，半径变小，所以角速度应该比远地点的角速度大。 如果可以证明从近地点到远地点角速度是个渐变的过程， 就可以得出在物体落地前，角速度一直大于地球自转的角速度

嗯嗯，有时间一定看看这个。忽然想起应该证明一下为什么开氏定律描述的这种运动是稳定的，还有没有其他稳定的运动状态。不过在数学严重退化的情况下，只有记下来等以后了。